第二节 极限的概念
一、数列的极限
首先给出数列的定义.
定义1 如果按照某一法则，对每个n∈N＋，对应着一个确定的实数xn，这些实数xn按照下标n从小到大排列得到的一个序列
x1，x2，x3，…，xn，…
就叫作数列，简记为数列{xn}.
数列中的每一个数叫作数列的项，第n项xn叫作数列的一般项.例如：
都是数列的例子，它们的一般项分别为
注 数列{xn}可看作自变量为正整数n的函数xn＝f(n)，n∈N＋.当自变量n依次取1，2，3，…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列{xn}.
对一个数列，我们关心的是当n无限增大时，对应的xn是否能无限接近于某个确定的数值?如果能够的话，这个数值等于多少?就数列
来说，当n无限增大时，
的值无限接近于1，意味着
的值无限地变小，而且要它多小就可以有多小，只要n足够大.例如，若要
只要n＞99即可，即从第100项起都能使不等式
成立；若要使
只要n＞999即可，如此等等.这样的数1，叫作数列
时的极限.
一般地，有如下的数列极限的定义.
定义2 设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式
| xn－a|＜ε
都成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为
或
xn→a (n→∞).
根据这个定义，数列{xn}是否以a为极限，取决于对于任给的ε＞0，是否存在相应的正整数N.
例1 根据极限定义证明
证 对于任给的ε＞0，要使
只要
所以，对任给的ε＞0，取
则当n＞N时就有
即
例2 根据极限定义证明常值数列c，c，c，…收敛，且
证 任给ε＞0，对所有的n，均有
| c－c|＝0＜ε，
因此任意正整数都可作为N，故
例3 设| q|＜1，证明等比数列1，q，q2，…，qn－1，…的极限是0.
证 对于任给的ε＞0(设ε＜1)，要使
只要(n－1)ln|q|＜lnε.因|q|＜1，ln|q|＜0，故
取
则当n＞N时，就有| qn－1－0|＜ε，
即
二、函数的极限
1.自变量趋于有限值时函数的极限
现在考察当自变量x无限接近于某一点x0时函数f(x)的变化趋势.如果在x→x0的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f(x)当x→x0时的极限.当然，这里我们首先假定函数f(x)在点x0的某个去心邻域内是有定义的.
下面我们给出函数极限的定义：
定义3 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得对于满足不等式0＜| x－x0|＜δ的一切x，总有| f(x)－A|＜ε，则称常数A为函数f(x)当x→x0时的极限.记作
在这个定义中，不等式0＜| x－x0|＜δ体现了x无限接近于x0，但x≠x0，不等式| f(x)－A|＜ε体现了f(x)无限接近于A.如图1—6所示，其几何意义是对于任给的正数ε，作两条直线y＝A＋ε和y＝A－ε，则总存在x0的一个去心邻域U°(x0，δ)，使得在此邻域内函数y＝f(x)的图像落在这两条直线之间的阴影带形区域.
例4 证明
证 这里| f(x)－A|＝| x－x0|，因此对任给的ε＞0，总可取δ＝ε，当0＜| x－x0|＜δ＝ε时，能使不等式| f(x)－A|＝| x－x0|＜ε成立.所以
例5 证明
证 因为
故对任给的ε＞0，要使| f(x)－A|＜ε，只需取δ＝ε，当0＜| x－x0|＜δ时，就有
定义4 设函数f(x)在点x0的左邻域(或右邻域)内有定义，在x0处可以没有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得对于满足不等式x0－δ＜x＜x0(或x0＜x＜x0＋δ)的一切x，总有| f(x)－A|＜ε，则称常数A为函数f(x)当x趋于x0时的左(或右)极限.记作
或
左极限和右极限统称为单侧极限.
定理
的充分必要条件是
例6 函数
当x→0时，f(x)的极限不存在.
证 当x→0时，f(x)的左极限
而当x→0时，f(x)的右极限
因为左极限和右极限存在但不相等，所以
不存在.如图1—7所示.
2.自变量趋于无穷大时函数的极限
如果在x→∞的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A，那么A叫作函数f(x)当x→∞时的极限.精确地说，就是
定义5 设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数X，使得对于满足不等式| x|＞X的一切x，总有
| f(x)－A|＜ε，
则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限.记作
定义6 设函数f(x)当x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数X，使得对于满足不等式x＞X的一切x，总有
| f(x)－A|＜ε，
则称常数A为函数f(x)当x→＋∞时的极限.记作
定义7 设函数f(x)当x小于某一个数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数X，使得对于满足不等式x＜－X的一切x，总有
| f(x)－A|＜ε，
那么常数A就叫作函数f(x)当x→－∞时的极限.记作
例7 证明
证 对任意ε＞0，要证存在X＞0，当| x|＞X时，不等式
都成立，即
如果取
，那么当| x|＞X时，不等式
成立，这就证明了
习题1—2
1.观察如下数列{xn}一般项xn的变化趋势，写出它们的极限.
2.根据数列极限的定义证明：
3.设数列{xn}有界，又
，证明：
4.根据函数极限的定义证明：
5.讨论函数
当x→0时的极限.
6.设
求