2.2 层状球体介质模型LMT正演理论

2.2.1 LMT理论的假设

如前所述，LMT是在MT的理论基础上发展起来的方法，是MT方法的补充和扩展，所以MT理论中的基本假设前提对LMT同样适用，其中最为关键的理论基础是平面波假设。除了两极和赤道地区会影响场源平面波模型假设的正确性，长期以来，研究者们还对该模型的适用性提出了异议。Wait（1954）和Price（1962）提出，在相当于电磁波穿透深度的水平距离范围之内，如果外场是均匀的，那么对大地电磁测深来说就可以认为场源是均匀的平面波；如果电磁波场的横向范围并不远大于其穿透深度，那么Cagniard（1953）所提出的MT理论公式将不能成立，必须引入相应的校正项。Dmitriev和Berdichevskiy（1979）则撰文证明了Wait-Price准则过于严格，他们认为在一维大地的情况下，即使场源在水平方向上线性变化，Tikhonov-Cagniard模型也是合理的。Madden和Nelson（1964）则认为，Cagniard（1953）最初关于MT理论中平面波的假设普遍适用于中纬度地区周期小于10⁵s的测深。

本书所研究的层状球体LMT一维正反演理论是基于场源平面波模型的假设前提，适用于中纬度地区。

2.2.2 平面波入射均匀介质球体的波阻抗

在宽频带大地电磁测深法的一维正演理论中，介质被假设为水平层状的［见图2-1（a）］。在LMT一维正演理论中，采用的是层状球体介质模型［见图2-1（b）］，图2-1（b）表示一个n层球状地电断面，各层的视电阻率为ρ₁,ρ₂,…,ρ_n，每一层上顶面相对于地心的半径为r₁,r₂,…,r_n。

为了研究平面波入射到层状介质球体的MT正演理论，先从最基本的均匀介质球体入手，即平面电磁波沿 z 轴入射到半径为 a 的介质球，如图2-2所示。

电磁场可以分为相对于球径方向的TM和TE极化波两部分（简称TM波和TE波）。由Maxwell方程组中的▽· H =0和▽· E=0及矢量场论可知，任一矢量的旋度的散度恒等于零，故可以引入磁矢量A和电矢量F：

TM波球径方向的磁场H=0，矢量磁位仅有球径方向的分量A=A_re_r；而TE波球径方向的电场E=0，则矢量电位为F=F_re_r。由此可导出Lorentz规范条件下的矢量位方程

式中， k=(w²με-iwμσ)^1/2为均匀介质球中的复波数。以TM波为例，在球坐标系中将式（2-16）展开为

将式（2-17）各项同时除以r ，利用式（2-18）可将式（2-17）改写成式（2-19）。

式中，▽²为三维拉普拉斯算符。

由此可见，( A_r/r )满足齐次标量的Helmholtz方程。

对于TE波，则有

令，和分别称为TM波和TE波的Debye位，通过求解式（2-19）和式（2-20）可得到Debye位，进而得到矢量位，再由矢量位可导出电磁场（徐建华，1997）：

展开式（2-21）即可用Debye位表示出各电磁场分量：

在导出E_r和H_r的表达式时再次用到式（2-18）。当只存在TM波或TE波时，只需令或。

据式（2-19）和式（2-20）的通解可写出Debye位的一般形式：

式中，为缔合Lengendre函数， f (r)满足Bessel方程

方程的解 f (r)为第一类和第二类n阶Bessel函数或Hankel函数或其线性组合。

本书只考虑TE模式的情况，并忽略位移电流（μεω² <<μσω），将Debye位的一般形式代入式（2-22），则均匀球体内磁场和电场的n次谐波的各分量可表示为

式中，或；f (r)取为第一类和第二类球Bessel函数的组合：

式中，j_n(x)和η_n(x)分别为n阶第一类和第二类球Bessel函数；Bη_n(kr)表示反射波。

对于均匀球体介质，假设对电磁波全部吸收，即B=0，则阻抗为

或

2.2.3 平面波入射多层介质球体的正演理论

从式（2-27）和式（2-28）看出，阻抗与θ和φ无关，只与 f (r)有关。因此，球内半径为r处的阻抗为

为了方便表述正演公式，假设

对于一个两层同心球体，则在同一层的顶面（r=r₁）和底面（r=r₂）且r₂＜r₁处， Z₁和Z₂分别为

两个方程中有相同的待定系数A与B，因此可用Z₂表示Z₁，从而得到相邻两层之间的阻抗变换关系。

将Z₂代入Z₁中，可得

同理，对于一个n层同心球体，第m层阻抗可由第m+1层表示：

最内层的球体表面阻抗与均匀球体介质相同，已由式（2-27）和式（2-28）给出。则从底层开始，由式（2-34）迭代公式可一层层地向上递推求出球表面阻抗Z₁。

由阻抗则可求得球表面的视电阻率和阻抗相位：

图2-3所示为层状球体介质模型的LMT正演流程图。