命题IV.3

给定一个圆和一个三角形，可以作这个圆外切的三角形与给定三角形相似。

设：ABC为给定的圆，DEF为给定的三角形。

求作：圆ABC的外切三角形，并与三角形DEF相似。

在EF的两个方向上延长，分别至G点和H点。设K为圆ABC的圆心，作任意半径KB。作∠BKA等于∠DEG，∠BKC等于∠DFH。过点A、B、C作圆ABC的切线，使之相交于M、N、L（命题III.1）。

因为：LM、MN和NL与圆ABC分别相切于A、B、C点。又，KA、KB和KC是从圆心K分别到A、B、C点的连线。

所以：A、B、C点上的角皆为直角（命题III.18）。

又因为：四边形AMBK四个角的和等于360°，∠KAM、∠KBM是直角。

所以：其余角∠AKB、∠AMB之和等于180°。

而∠DEG与∠DEF之和也等于180°。所以：∠AKB、∠AMB之和等于∠DEG与∠DEF之和。其中∠AKB等于∠DEG。所以：∠AMB等于∠DEF（命题I.13）。

同样，也可以证明∠LNB也等于∠DEF。所以：∠MLN等于∠EDF（I.32）。

所以：三角形LMN与三角形DEF是相似三角形，且外切于圆ABC（定义IV.4）。

所以：给定一个圆和一个三角形，可以作这个圆外切的三角形与给定三角形相似。

证完

注解

这一命题没有被利用于《几何原本》中的其他地方，但与前一命题构成一对。