命题IV.1

可作一条圆内的弦，使之等于给定的小于直径的线段。

设：ABC为给定的圆，d为给定的小于圆ABC直径的线段。

求作：在圆ABC内作一条弦，使之等于线段d。

令：作圆ABC的直径BC。

如果BC等于d，那么此线段就不必再作，因为圆的直径BC等于d。

如果BC大于d，取CE等于d，以C为圆心，CE为半径作圆EAF，连接CA（命题I.3）。

那么：因为C点是圆EAF的圆心，那么CA等于CE。

又，CE等于d，所以：d也等于CA。

所以：CA是给定的圆ABC的弦，并等于d（定义IV.7）。

所以：可作一条圆内的弦，使之等于给定的小于直径的线段。

证完

注解

在现代初等几何中，线段、直线、射线若用一个字母表示应为小写字母，点都用大写字母表示。为了方便读者，特将原书中的相关大写字母作相应调整（把表示线段、直线、射线的单个大写字母改为小写）。

假定适应于圆的线段小于圆的直径是必要的，然而欧几里得没有给予充分证明。事实上只需证明两圆交于一个点即点A即可。这一逻辑漏洞在《原本》的前几卷中也有出现，比如在命题I.1、I.22中。

这一命题应用在命题IV.10、IV.16中，也偶尔用在卷5、6、7之中。