9.2　课后习题详解

§1　数项级数的收敛性

1．讨论下列级数的敛散性．收敛的话，试求出级数之和．

解：

所以 

（2）因为，所以级数发散．

所以　  　 

所以 中有无穷多项，满足；于是cx_n＜对一切n＞N成立，且中有无穷多项，满足

；所以

设c＜0，，则对任意给定的，存在正整数N，使得对一切n＞N成立，且中有无穷多项，满足；于是对一切n＞N成立，且中有无穷多项，满足

；所以

3．证明：

（2）若存在，则

证明：（1）记，则对任意给定的，存在正整数N，对一切n＞N，成立

，即

于是

由ε的任意性，即得到

（2）若存在，则由（1），

且

两式结合即得到

4．证明：若，则

证明：由，可知对任意给定的，存在正整数N₁，对一切n＞N₁，成立

记，则对上述，存在正整数N₂，对一切n＞N₂，成立

取，则当n＞N时，成立

于是

由的任意性，即得到

由于

又得到

将此两式与前面两式结合，即得到

§3　正项级数

1．讨论下列正项级数的敛散性：

解：（1）因为，由于收敛，所以收敛．

（2）因为，由于发散，所以发散．

（3）因为，由于发散，所以发散．

（4）因为当n≥4有，由于收敛，所以收敛．

（5）因为，由于收敛，所以收敛．

（6）

由于收敛，所以收敛．

（7）由于，所以发散．

（8）因为当n≥3有

由于发散，所以发散．

（9）设，则

由d’Alembert判别法，收敛．

（10）设，则

由Cauchy判别法，收敛．

（11）设，则

由d’Alembert判别法，收敛．

（12）设，则

由d’Alembert判别法，收敛．

由于发散，所以发散．

由于收敛，所以收敛．

由于收敛，所以收敛．

由于收敛，所以收敛．

（17）设则

由d’Alembert判别法，收敛．

2．利用级数收敛的必要条件，证明：

证明：（1）设，则，由d’Alembert判别法，收敛，所以

（2）设，则，由d’Alembert判别法，收敛，所以

3．利用Raabe判别法判断下列级数的敛散性：

解：（1）设则

由Raabe判别法

当a＞1时，级数收敛；当0＜a＜1时，级数发散；

当a=1，，级数发散．

（2）设，则

由Raabe判别法，级数收敛．

（3）设，则

由Raabe判别法，级数发散．

4．讨论下列级数的敛散性：

解：（1）当n≥2，有

由于收敛，所以收敛．

，由于发散，所以发散．

由于收敛，所以收敛．

5．利用不等式，证明：

存在（此极限为Euler常数，见例2．4．8）．

证明：设，则

所以数列单调减少有下界，因此收敛．

6．设与是两个正项级数，若或，请问这两个级数的敛散性关系如何？

解：若，则当n充分大时有x_n＜y_n，所以当收敛时，必定收敛，当发散时，必定发散；

若，则当n充分大时有x_n＞y_n，所以当发散时，必定发散，当收敛时，必定收敛．

7．设正项级数收敛，则也收敛；反之如何？

解：设正项级数收敛，则，所以当n充分大时，有0≤x_n＜1，即有，因此收敛；反之，当收敛时，不一定收敛．例如，则收敛，但发散．

8．设正项级数收敛，则当时，级数收敛；又问当0＜时，结论是否仍然成立？

解：设正项级数收敛．当时，由

以及与的收敛性，可知收敛．

当时，不一定收敛．例如，则收敛，但发散．

9．设f（x）在上单调增加，且

（1）证明级数收敛，并求其和；

（2）进一步设f（x）在上二阶可导，且，证明级数收敛．

证明：（1）级数的部分和为，

由得到

（2）由Lagrange中值定理以及单调减少，得到

由收敛，即得到收敛．

10．设

（1）求级数的和；

（2）设，证明级数收敛．

证明：（1）

于是

（2）由a_n＞0及，可知，于是，由于收敛，可知收敛．

11．设x_n＞0，，证明发散．

证明：由x_n＞0，，得到

即数列单调增加．于是存在，使得，因而

由发散即可知发散．

12．设正项级数发散（x_n＞0，n=1，2，…），证明：必存在发散的正项级数，使得

证明：设，则令

于是．即是发散的正项级数，且

13．设正项级数发散，，证明级数收敛．

证明：由S_n≥S_n－1，可知

由此得到由，得到

14．设为Fibonacci数列．证明级数收敛，并求其和．

解：首先Fibonacci数列具有性质a_n＋1=a_n＋a_n－l与（见例2．4．4）．设，则

由d’Alembert判别法可知级数收敛．

设，则，两式相加得到

于是

S=a_l＋a₂=2．

§4　任意项级数

1．讨论下列级数的敛散性（包括条件收敛与绝对收敛）：

解：（1）设级数的部分和数列为，则

由于级数收敛，发散，所以，因此级数l－发散．

（2）级数当n充分大（即n＋x＞0）时是交错级数，且单调减少趋于零，所以收敛；

又由于发散，所以级数条件收敛．

（3）当x=0时的一般项为零，所以级数绝对收敛．

设x≠0，当n充分大即时是交错级数，且单调减少趋于零，所以

收敛；又由于发散，所以级数条件收敛．

（4），因此不存在，所以级数发散．

（5）是交错级数，当n≥8，单调减少趋于零，所以级数收敛；又由于

发散，所以级数条件收敛．

（6）设的部分和数列为，则

由于都是Leibniz级数，即都是收敛的，所以存在且有限．容易证明

由此可知级数收敛．

由于发散，所以级数条件收敛．

（7）当时，由于0≤4sin²x＜1，收敛，所以级数绝对收敛．

当时，，所以是条件收敛级数．

在其他情况下，由于级数的一般项趋于无穷大，所以级数发散．

（8）当时，级数的一般项为零，所以级数绝对收敛．

设，当p＞1时，由于，所以级数绝对收敛．

当0＜p≤1时，由于

由Dirichlet判别法，收敛，而发散，所以级数发散．

当p≤0时，由于级数的一般项不趋于零，所以级数发散．

（9）设，则，所以

当时，绝对收敛；

当时，发散；

当时，级数的一般项不趋于零，所以也发散．

（10）设由于单调减少趋于零，所以是Leibniz级数，因此收敛．

因为发散，所以级数条件收敛．

（11）设，则，所以

当＜1时，级数绝对收敛；

当时，级数发散；

当时，，因此当p＞1或p=1且q＞1时级数绝对收敛，在其他情况下级数发散；

当x=－1时，，因此当p＞1或p=1且q＞1时级数绝对收敛，当p=1且q≤l或0＜p＜1或p=0且q＞0时级数条件收敛，在其他情况下级数发散．

（12）设

当a＞1时，，所以级数绝对收敛；

当a=1时，级数条件收敛；

当0＜a＜1时，由于收敛；单调有界，由Abel判别法，级数收敛，但由于发散，所以级数条件收敛．

2．利用Cauchy收敛原理证明下列级数发散：

证明：（1）设级数的一般项为x_n，则

由于n可以取任意大，由Cauchy收敛原理可知级数发散．

（2）设级数的一般项为x_n则

由于n可以取任意大，由Cauchy收敛原理可知级数发散．

3．设正项级数收敛，单调减少，利用Cauchy收敛原理证明：

证明：由收敛，对任意给定的，存在正整数，对一切m＞，成立

取，则当n＞N时，有，于是成立

即

4．若对任意和任意正整数p，存在，使得

对一切n＞N成立，问级数是否收敛？

解：级数不一定收敛．

例如：级数发散，但对任意和任意正整数p，取，当时，

5．若级数收敛，，问级数是否收敛？

解：不一定收敛．

反例：，则，但级数收敛，而级数发散．

6．设x_n≥0，，问交错级数是否收敛？

解：不一定收敛．

反例：则x_n≥0，，但发散．

7．设正项数列单调减少，且级数发散．问级数是否收敛？并说明理由．

解：级数收敛．

因为正项数列单调减少，所以必定收敛．如果，则是Leibniz级数，因此收敛，与条件矛盾，所以必定有，于是当n充分大时，，因此收敛．

8．设级数收敛，则当时，级数也收敛．

证明：，由于收敛，单调有界，利用Abel判别法，可知级数收敛．

注：本题也可利用Dirichlet判别法证明．

9．若收敛，收敛，则级数收敛．

证明：令a_n=x_n，b_n=1，则利用Abel变换，得到

由于

因为数列单调有界，级数收敛，由Abel判别法，

收敛．再由数列的收敛性，即可知级数收敛．

10．若绝对收敛，收敛，则级数收敛．

证明：由于收敛，可知，成立由于绝对收敛，所以收敛，于是可知有界．

设令，利用Abel变换，得到

由Cauchy收敛原理，可知级数收敛．

11．设f（x）在[－l，1]上具有二阶连续导数，且

证明级数绝对收敛．

证明：由可知f（0）=0，，于是

所以级数绝对收敛．

12．已知任意项级数发散，证明级数也发散．

证明：反证法  令，若收敛，因为单调有界，则由Abel判别法，

收敛，与条件矛盾，所以级数发散．

13．设x_n＞0，，证明：交错级数收敛．

证明：设，首先可知当n充分大时有x_n＞x_n＋1，即数列当n充分大时是单调减少的．然后取，使得可知当n充分大时，成立

从而

这说明数列当n充分大时也是单调减少的，于是存在A＞0，使得A，即

从而数列趋于零．因此交错级数是Leibniz级数，所以收敛．

14．利用

其中是Euler常数（见例2．4．8），求下述的更序级数的和：

解：设

设级数

的部分和数列为，则

于是

由得到

由于，所以

15．利用级数的Cauchy乘积证明：

证明：（1）设，则c₀=1，且当n≥1时，

所以

（2）设，则

又由于，所以，从而得到

§5　无穷乘积

1．讨论下列无穷乘积的敛散性：

解：（1） 

由于收敛，所以收敛．

由于发散，所以发散．

由于收敛，所以收敛．

由于收敛，所以收敛．

当x＞0，

当x＞1时，由于收敛，所以收敛；

当0＜x≤1时，由于发散，所以发散．

当x≤0时，的一般项不趋于1，所以发散．

（6）因为对任意x，收敛，所以收敛．

（7）当|x|＜2时，因为收敛，所以收敛；

当|x|≥2时，因为发散，所以发散．

因为收敛，所以收敛．

因为收敛，所以收敛．

由此可知

当min（p，2q）＞1时，收敛；

当min（p，2q）≤1时，发散．

2．计算下列无穷乘积的值：

解：（1）由于

所以

（2）由于

所以

（3）由于

所以

3．设收敛，则收敛．

证明：设，则

由于收敛，所以收敛．

4．设收敛，则绝对收敛．

证明：由于收敛，所以设

则

于是收敛，所以绝对收敛．

5．证明：

证明：

由于

所以，从而

由于

所以，从而

6．设|q|＜1，证明：

证明：设，则

由于收敛，所以

于是

由于，所以

7．设，证明级数与都发散，但无穷乘积收敛．

证明：设，则

由于，于是

所以发散；又由于也发散．

设，则

所以存在且非零．由于

所以存在且非零，即无穷乘积收敛．